数学大帝希尔伯特的讲演(1/2)

在1900年8月巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

（1）康托的连续统基数问题。1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与zf集合lùn_gōng理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（公理彼此独立。因而，连续统假设不能用zf公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

（2）算术公理系统的无矛盾性。欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1.ge，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1e马利（ry）、齐宾（z）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率lùn_gōng理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

（7）某些数的超越性的证明。需证：如果a是代数数，β是无理数的代数数，那么aβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（gelfond）192el）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。

（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（r德巴赫（gch）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。

（9）一般互反律在任意数域中的证明。1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（e.）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1vi）、罗宾逊（r）等取得关键性突破。1s）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。

（11）一般代数数域内的二次型论。德国数学家哈塞在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（a.）取得了新进展。

（12）类域的构成问题。即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a，b，c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1d）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1，x2)，x3)(i=1--9)，这里(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里完全无关。1964年，维土斯金（v）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

（14）某些完备函数系的有限的证明。即域k上的以x1，x2，…，xn为自变量的多项式fi（i=1，…，（x1，…，x）∈k[x1，…，xn的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

（15）建立代数几何学的基础。荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。注一舒伯特（s）计数演算的严格基础。一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=y/x的极限环的最多个数n（n）和相对位置，其中x、y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到n(2)≥1；1952年鲍廷得到n(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布n(